여기에서는 다양하게 활용될 수 있는 cbind()에 대해 알아봅니다.

lm

formula는 모형을 나타내기 위해서(model specification) 자주 쓰입니다. 이때 주의할 점은 모형 안의 +가 산술의 더하기가 아니라는 점이입니다. 단지 어떤 변수들이 설명 변수 또는 독립 변수로 쓰이는지를 나타냅니다.

data(mtcars)
head(mtcars)

##                    mpg cyl disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4         21.0   6  160 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag     21.0   6  160 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710        22.8   4  108  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive    21.4   6  258 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout 18.7   8  360 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant           18.1   6  225 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1

fit <- lm(qsec ~ cyl + wt,
          data=mtcars)
summary(fit)

## 
## Call:
## lm(formula = qsec ~ cyl + wt, data = mtcars)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.25369 -0.96105  0.07677  0.80139  2.57644 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  20.7434     0.8154  25.439  < 2e-16 ***
## cyl          -1.1730     0.1972  -5.949 1.83e-06 ***
## wt            1.3563     0.3599   3.769 0.000747 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.221 on 29 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5634, Adjusted R-squared:  0.5333 
## F-statistic: 18.71 on 2 and 29 DF,  p-value: 6.043e-06

만약 산술의 더하기를 나타내려면 I(a+b)와 같이 써야 합니다.

lm(qsec ~ cyl + wt,
          data=mtcars)

## 
## Call:
## lm(formula = qsec ~ cyl + wt, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          cyl           wt  
##      20.743       -1.173        1.356

lm(qsec ~ I(cyl + wt),
          data=mtcars)

## 
## Call:
## lm(formula = qsec ~ I(cyl + wt), data = mtcars)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)  I(cyl + wt)  
##     20.8449      -0.3186

위의 두 모형의 차이는 다음의 두 회귀식의 차이와 같습니다.

\[\textrm{qsec} = \beta_0 + \beta_1 \textrm{cyl} + \beta_2 \textrm{wt}\]

\[\textrm{qsec} = \beta_0 + \beta_1 \big(\textrm{cyl} + \textrm{wt}\big)\]

잘 알려지지 않은 multivariate regression에서는 결과 변수가 둘 이상입니다. 예를 들어 qsec와 hp를 cyl, wt를 통해 예측하려면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

lm(cbind(qsec, hp) ~ cyl + wt, 
   data =mtcars)

## 
## Call:
## lm(formula = cbind(qsec, hp) ~ cyl + wt, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
##              qsec     hp     
## (Intercept)   20.743  -51.806
## cyl           -1.173   31.388
## wt             1.356    1.330

여기서 ~의 좌측에 cbind()가 쓰였음을 유의합시다. cbind()를 생략하고 +를 하면 전혀 다른 모형이 됩니다.

lm(qsec+hp ~ cyl + wt,
   data =mtcars)

## 
## Call:
## lm(formula = qsec + hp ~ cyl + wt, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          cyl           wt  
##     -31.062       30.215        2.687

두 모형의 차이는 다음과 같습니다. 추정해야 할 파라메터의 수가 6개와 3개로 큰 차이가 납니다.

\[
\begin{cases}
\textrm{qsec} = \beta_{10} + \beta_{11} \textrm{cyl} + \beta_{12} \textrm{wt}, \
\textrm{hp} = \beta_{20} + \beta_{21} \textrm{cyl} + \beta_{22}\textrm{wt} \
\end{cases}
\]

\[(\textrm{qsec} + \textrm{hp}) = \beta_{0} + \beta_1 \textrm{cyl} + \beta_2 \textrm{wt}\]

다변량 선형 회귀(multivariate regression)와 두 독립적인 선형 회귀의 차이는 다변수 선형 회귀는 두 선형 회귀을 동시에 진행한다는 점입니다.

그에 따라 모든 파라메터에 대해 공분산행렬을 구할 수 있습니다.

fit <- lm(cbind(qsec, hp) ~ cyl + wt, 
          data =mtcars)
fit

## 
## Call:
## lm(formula = cbind(qsec, hp) ~ cyl + wt, data = mtcars)
## 
## Coefficients:
##              qsec     hp     
## (Intercept)   20.743  -51.806
## cyl           -1.173   31.388
## wt             1.356    1.330

vcov(fit)

##                  qsec:(Intercept)    qsec:cyl     qsec:wt hp:(Intercept)
## qsec:(Intercept)       0.66491080 -0.06191005 -0.07312798     -12.943605
## qsec:cyl              -0.06191005  0.03887647 -0.05552509       1.205183
## qsec:wt               -0.07312798 -0.05552509  0.12951727       1.423559
## hp:(Intercept)       -12.94360542  1.20518301  1.42355884     688.050657
## hp:cyl                 1.20518301 -0.75679570  1.08088907     -64.064604
## hp:wt                  1.42355884  1.08088907 -2.52127127     -75.672934
##                       hp:cyl      hp:wt
## qsec:(Intercept)   1.2051830   1.423559
## qsec:cyl          -0.7567957   1.080889
## qsec:wt            1.0808891  -2.521271
## hp:(Intercept)   -64.0646043 -75.672934
## hp:cyl            40.2294229 -57.457440
## hp:wt            -57.4574404 134.024663

aggregate

집계 함수인 aggregate에서도 formula를 활용합니다.

예를 들어, mtcars에서 cyl와 vs에 따른 mpg의 평균을 알고 싶다면,

aggregate(mpg ~ cyl + vs, data=mtcars, FUN= mean)

##   cyl vs      mpg
## 1   4  0 26.00000
## 2   6  0 20.56667
## 3   8  0 15.10000
## 4   4  1 26.73000
## 5   6  1 19.12500

이를 수식으로 나타내면 \(\mathbb{E[\textrm{mpg} | \textrm{cyl}, \textrm{vs}]}\) 가 됩니다. 물론 FUN=을 어떻게 설정하느냐에 따라 평균을 구할 수도 있고, 최소값을 구할 수도 있고, 분산을 구할 수도 있습니다.

예를 들어 \(\mathbb{V}\textrm{ar}[\textrm{mpg} | \textrm{cyl}, \textrm{vs}]\) 를 구한다면,

aggregate(mpg ~ cyl + vs, data=mtcars, FUN= var)

##   cyl vs        mpg
## 1   4  0         NA
## 2   6  0  0.5633333
## 3   8  0  6.5538462
## 4   4  1 22.5445556
## 5   6  1  2.6625000

만약 변수 mpg 뿐만 아니라 disp의 분산도 같이 구하고자 한다면, cbind(, )를 이용해야 합니다. +를 쓴다면 산술적 의미의 더하기가 됨을 유의하세요.

aggregate(cbind(mpg, disp) ~ cyl + vs, data=mtcars, FUN= var)

##   cyl vs        mpg      disp
## 1   4  0         NA        NA
## 2   6  0  0.5633333   75.0000
## 3   8  0  6.5538462 4592.9523
## 4   4  1 22.5445556  774.2107
## 5   6  1  2.6625000 2001.9033

aggregate(mpg + disp ~ cyl + vs, data=mtcars, FUN= var)

##   cyl vs mpg + disp
## 1   4  0         NA
## 2   6  0   88.56333
## 3   8  0 4419.14923
## 4   4  1  582.36278
## 5   6  1 2102.44917

matrix

마지막으로 행렬(또는 배열)에서 원소를 선택할 때에도 cbind(, )를 사용할 수 있습니다.

mat <- matrix(1:16, 4, 4)
mat

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    5    9   13
## [2,]    2    6   10   14
## [3,]    3    7   11   15
## [4,]    4    8   12   16

mat[c(1,4), c(2,3)]은 원래 행렬의 첫 번째, 네 번째 행과 두 번째, 세 번째 열을 남긴 \(2\times 2\)-행렬을 나타냅니다. 그렇다면 행렬 mat의 위치 (1,2)의 원소와 위치 (4,3)의 원소는 어떻게 표현할 수 있을까요?

mat[rbind(c(1,2), c(4,3))]

## [1]  5 12

만약 plot(x, y)에서와 비슷하게 행 위치와 열 위치로 원소의 위치를 특정하고자 한다면, 다음과 같이 할 수 있습니다.

mat[cbind(c(1,4), c(2,3))]

## [1]  5 12

정리/요약

여기서는 matrix/array, lm, 그리고 aggregate에서 활용될 수 있는 cbind에 대해 알아 보았습니다.[^1]

[^1]: 사실 matrix의 일부를 선택할 때 쓰인 cbind는 함수이고, lm과 aggregate의 cbind는 공식(formula) 안에서 쓰여서 완전히 동일하지 않습니다.