핫 핸드가 없다고?

“농구팬들은 어떤 농구 선수가 3번 연속 슛을 성공시키면 그 선수가 hot hand이기에 평소보다 슛 성공률이 높아졌다고 생각했다.”

하지만 트버스키 등은 1985년에 발표한 논문에서 이것이 잘못된 인식임을 보여주었다.

이 논문은 내용만 봐서는 크게 문제될 것이 없어보인다. 특정 농구 기록을 대상으로, 처음 3번 성공 시킨 후의 성공확률과, 그렇지 않을 때의 성공 확률을 비교해 보면 되니까.

물론 표본 확률이 아니라 모확률을 생각한다면 검정력의 문제가 있을 수도 있다. 실제로 검정력이 너무 작다고 비판하는 논문들이 여럿 있고, 트버스키의 방법론 자체에 문제점을 제기한 논문도 있다.

어쨋든, 이 논문이 주목받는 이유는 1) 사람들이 통상 생각하는 것이 틀렸음을 보여주어서, 2) 그럼에도 농구 관계자들은 hot hand가 없다는 결론을 받아들이지 않았기 때문이라고 한다.

통계의 잘못된 적용

그런데 말이지, 이건 정말 웃긴 얘기이다.
마치 미국 대통령이 미국인의 1%도 안된다는 이유로 미국 대통령이 미국인이다라는 영가설을 기각한다던지, 뭐 그런 말도 안되는 통계와 다를 것이 없다.

정당한 베이지안 분석

이렇게 생각해보자.

어떤 농구 선수의 슛 확률이 모확률 딱 하나라고 생각하는 사람은 없을 것이다. 날마다 컨디션이 있고, 주변 환경, 심리적 스트레스 등이 복합적으로 작용해서 그날의 슛 성공 확률이 결정될 것이다.

그렇다면 그 날 슛확률은 단 하나의 모확률이라고 가정을 해보자(이것도 좀 웃긴 얘기이지만).

그럼 그 모확률의 어떤 확률 분포(사전분포)를 띄고 있을 것이다.

이때 베이지안 분석을 동원해보면, 처음 슛 세 개가 연속으로 들어갔을 때, 모확률의 사후분포와 처음 슛 세 개 중 하나 또는 두 개를 놓쳤을 때의 모확률의 사후분포를 비교해보면, 당연히 처음 슛 세 개가 연속으로 들어갔을 때의 사후 분포 평균이 그렇지 않을 때의 사후 분포 평균보다 크다.

이걸 굳이 실증을 해봐야해? 차이의 크기가 얼마나 크냐는 모확률의 사전분포 분산에 따라 영향을 받겠지만.

그렇다면 처음 슛 세 개가 아니라, 게임 도중의 슛이라면 어떨까?

이것도 마찬가지이다. 슛 성공 모확률이 게임 도중 달라진다면, 당연히 슛을 세 번 연속해서 성공했을 때의 추정되는 모확률값이 그렇지 않을 때보다 크다. (물론 세 번 성공 이전에 실수를 연발했다면 추정되는 슛 성공 확률이 평소보다 작을 수도 있겠지만, 어쨋든 이전보다 높아진다. 그리고 그 차이는 슛 성공 모확률의 분산과 모확률의 변화 속도 등에 따라서 달라질 것이다.)

그런데 생각해보면 웃기다. 논문의 결론은 각 슛의 성공확률은 독립적이라는 것이라는 건데, 각 슛이 독립적이고, 슛 성공 모확률이 단 하나의 값이 아니라고 한다면, 슛을 많이 성공시켰을 수록 슛 성공 모확률의 사후 분포가 그렇지 않을 때 보다 우측으로 이동하는 건 앞에서 설명했듯이 당연하다. 그렇지 않은 게 이상한 거다.

그런데 그렇지 않다면, 그건 검정력의 문제라던지, 하루 동안 한 선수의 성공확률 변화가 크지 않다던지, 아니면 또 다른 요인(선수의 긴장/인식 등)이 작용한다던지를 찾아내야 하는 것이 아닌가? 설마 하루의 슛 성공 확률은 단 하나의 모수라고 생각하는 건가? (그렇게 가정하면 그 가정에 의해 하루동안 슛 성공률은 변할 수 없다!!??)

주의 사항

핫 핸드에 관한 여러 가지 정의, 여러 가지 연구/분석을 많이 찾아보고 적은 글은 아닙니다. 혹시 글과 관련하여 이견/의견/사견을 댓글로 적어주시면 참고 또는 반영하겠습니다.

참고 문헌

• https://en.wikipedia.org/wiki/Hot_hand : 요즘도 hot hand는 연구 대상이며, 그 실재에 대해 논란이 있다고 한다.

• Momentum isn’t magic vindicating the hot hand with the mathematics of streaks : 1985년 논문의 통계 분석 방법의 오류를 지적함.

• 앤드류 겔만의 블로그

  • A couple of thoughts regarding the hot hand fallacy fallacy
  • Gilovich doubles down on hot hand denial : 겔만은 한 라디오 프로에 나온 Gilovich가 그 이후의 수많은 반박에도 불구하고 85년 논문 내용을 그대로 인용하는 행태를 비난함.
  • Heyguess what? There really is a hot hand!

• 위의 동영상 출처: https://www.youtube.com/watch?v=Vx1SdP2TYoI